“这个世界真正的逻辑在于概率微积分。” — James Clerk Maxwell
机会与可能性：用概率做更好的猜测
概率是当信息不完备时进行定量判断的语言。它描述在可重复的观测下，各种结果出现的相对频率。
定义（设想的重复试验）：P(A) = N_A / N，其中 N_A 为最可能出现 A 的次数估计。
等可能 m 种结果：P(A)=1/m。例如：盲抽 52 张牌某一特定牌的概率为 1/52。
📈波动：有限样本中的起伏
抛 30 次硬币，“最可能”是 15 次正面，但单次实验会围绕 15 出现波动；大量重复的分布由二项式给出：
P(k,n) = (n k) / 2^n
一般化：P(k,n) = (n k) p^k (1-p)^{n-k}（伯努利分布）。
样本标准偏差（正反等可能）：(k - n/2)_\text{rms} \approx \sqrt{n}/2。
🚶随机游走：无规则中的规律
一步前或后等可能，走 N 步后净位移 D 的均方期望：
⟨D^2⟩ = N, D_\text{rms} = \sqrt{N}
与二项分布等价：D = 2k - N。应用：布朗运动、误差叠加。
📊概率密度与正态分布
步长有波动、但均方有限时，N 大时终点位置的分布趋于高斯分布：
p(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/(2\sigma^2)}, \sigma = \sqrt{N}\,S_\text{rms}
气体分子速率分布（麦克斯韦分布）亦需概率密度描述，曲线下的面积对应“期望数目”。
⚛️不确定性原理：概率是微观世界的必需
[\Delta x]\,[\Delta v] \ge \dfrac{\hbar}{2m}
位置与速度的概率密度不能同时任意窄。电子在原子中用“概率云”刻画，而非确定轨道。
结论：概率并非权宜之计，而是对原子尺度自然规律的最精确表述方式。
✨核心要点
概率 = 设想的重复实验中的相对频率估计，依赖信息与等可能性。
二项分布描述“是/否”类实验的次数分布，波动随 \sqrt{n} 缩放。
随机游走的均方位移随步数线性增长，宏观扩散与微观误差皆然。
量子不确定性使概率成为微观描述的根本，而非无奈。